GAMES101 L04 Transformation Cont

# 3D 变换

# 平移

$$T(t_x,t_y,t_z)=\begin{pmatrix} 1 & 0&0 &t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y\\ 0 &0 &1 &t_z \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}$$

# 缩放

$$S(s_x,s_y,s_z)=\begin{pmatrix} s_x & 0&0 &0 \\ 0 & s_y & 0 & 0\\ 0 &0 &s_z &0 \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}$$

# 旋转

$$R_x(\alpha)=\begin{pmatrix} 1 & 0&0 &0 \\ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha & 0\\ 0 &\sin\alpha &\cos\alpha &0 \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}\\ R_y(\alpha)=\begin{pmatrix} \cos\alpha & 0&\sin\alpha &0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -\sin\alpha &0 &\cos\alpha &0 \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}\\ R_z(\alpha)=\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha&0 &0 \\ \sin\alpha & \cos\alpha & 0 & 0\\ 0 &0 &1 &0 \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}$$

3D 旋转变换矩阵遵循循环对称：$X\times Y=Z,Y\times Z=X,Z\times X=Y$

# 合成的旋转变换

$$R_{xyz}(\alpha,\beta,\gamma)=R_x(\alpha)R_y(\beta)R_z(\gamma)$$

• 称为 “欧拉角”
• 常用于飞行模拟器：roll、pitch、yaw

# 罗德里格斯旋转公式

绕旋转轴 $n$ 旋转 $\alpha$ 角度

$$R(n,\alpha)=\cos(\alpha)I+(1-\cos(\alpha))nn^T+\sin(\alpha)N\\ N=\begin{pmatrix} 0 & -n_z & n_y \\ n_z & 0 & -n_x\\ -n_y &n_x &0 \\ \end{pmatrix}$$

四元数：旋转与旋转之间的差值

# 推导过程

1. 对 $v$ 做正交分解，得：$v=v_\parallel+v_\perp$

2. 由向量的矢量投影公式，得：$v_\parallel=(v\cdot k)\cdot k$

3. 由 ① 和 ② ，得：$v_\perp=v-v_\parallel=v-(v\cdot k)\cdot k$

4. $\because$ $k,v_\perp$ 与 $w$ 两两垂直，且 $|w|=|v_\perp|$

   $\therefore$ 由向量积得

   $$\begin{aligned} w=k\times v_\perp&=k\times [v-(v\cdot k) k]\\ &=k\times v-k\times (v\cdot k) k \\ &= k\times v-k\times v_\parallel \end{aligned}$$

   $\because$ $k$ 与 $v_\parallel$ 共线

   $\therefore$ $w=k \times v$

5. $v_\perp$ 旋转 $\theta$ 角后得到 $v_{rot\perp}$

   将 $v_{rot\perp}$ 正交分解，得：$v_{rot\perp}=a+b$

   $a=v_{rot\perp}\times \cos(\theta-90^\circ)=v_{rot\perp}\times \cos,a=w\sin\theta$

   $b=v_{rot\perp}\times \cos(180^\circ-\theta)=v_{rot\perp}\times \cos,b=v_\perp\cos\theta$

   $\therefore v_{rot\perp}=a+b=w\sin\theta+v_{rot\perp}\cos\theta=\sin\theta k\times v + \cos \theta[v-(v\cdot k) k]$

6. $$\begin{align*} v_{rot}=v_\parallel+v_{rot\perp}&=(v\cdot k)+\sin\theta k\times v+\cos\theta[v-(v\cdot k)k]\\ &=(v\cdot k)k+\sin\theta k\times v + \cos\theta v-\cos\theta(v\cdot k)k\\ &=\cos\theta v+(1-\cos\theta)(v\cdot k)k+\sin\theta k\times v \end{align*}$$

7. 将得到的结果变为矩阵的形式：

   1. 推导，得：$v_{rot}=\cos\theta v+(1-\cos\theta)(v\cdot k)k+\sin\theta k\times v$

      把 $k$ 和 $v$ 分别写作列向量：

      $$k=\begin{pmatrix} k_x \\k_y \\k_z \end{pmatrix} v=\begin{pmatrix} v_x \\v_y \\v_z \end{pmatrix}$$

      令 $v_{rot}=Rv$，下面对 $R$ 进行计算

   2. $(v\cdot k)k=k(v\cdot k)=k(k^T\cdot v)$

   3. $k\times v =\begin{pmatrix}k_y v_z-k_z v_y \\k_zv_x-k_xv_z \\k_xv_y-k_yv_x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-k_z&k_y\\k_z&0&-k_x\\-k_y&k_x&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_x \\v_y \\v_z\end{pmatrix}$

   4. $\therefore\ R=I\cos\theta+(1-\cos\theta)\begin{pmatrix}k_x\\k_y \\k_z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}k_x&k_y&k_z\end{pmatrix}+\sin\theta\begin{pmatrix}0&-k_z&k_y\\k_z&0&-k_x\\-k_y&k_x&0\end{pmatrix}$

      其中 $I$ 为 $3\times 3$ 的单位矩阵

# 如何将三维变成二维并在屏幕上显示出来

1. 模型变换 (M)
2. 相机变换 (V)
3. 投影变换 (P)

# 相机的定义

• 位置 $\vec{e}$
• 视线方向 $\hat {g} $
• 垂直方向 $\hat{t}$

如果把摄像机和世界一起变换，那么照片是一样的，所以把摄像机变换到新坐标系的原点，其他所有物体也做同样的变换

# TEG 坐标系怎么转变为 XYZ 坐标系

$$M_{view}=R_{view}T_{view}$$

1. 先做平移，$T_{view}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_e\\ 0 & 1 & 0 &-y_e \\ 0& 0 & 1 &-z_e \\ 0 & 0 & 0 &1\end{bmatrix}$

2. 再做旋转，顺着思路要把 $\hat{g}$ 旋转到 $-Z$ 坐标轴，把 $\hat{t}$ 旋转到 $Y$ 坐标轴，把 $(g\times t)$ 旋转到 $X$ 坐标轴，但这样的旋转矩阵非常难写

3. 所以采用逆向思路，把坐标轴移到相机坐标轴，通过逆操作写（该旋转矩阵为正交矩阵，其逆矩阵就是它的转置矩阵）（基变换）

   $$R^{-1}_{view}=\begin{bmatrix} x_{\hat{g}\times \hat{t}} & x_t & x_{-g} & 0\\ y_{\hat{g}\times\hat{t}} & y_t & y_{-g} &0 \\ z_{\hat{g}\times\hat{t}} & z_t & z_{-g} &0 \\ 0 & 0 & 0 &1\end{bmatrix}\\ R_{view}=\begin{bmatrix} x_{\hat{g}\times \hat{t}} & y_{\hat{g}\times\hat{t}} & z_{\hat{g}\times\hat{t}} & 0\\ x_t & y_t & z_t &0 \\ x_{-g} & y_{-g} & z_{-g} &0 \\ 0 & 0 & 0 &1\end{bmatrix}\\$$

# 投影变换

# 计算机图形学中的投影

• 3D 转 2D
• 正交投影
• 透视投影

# 透视投影与正交投影

# 正交投影

• 相机位于原点，面向 $-Z$，上方是 $Y$
• 忽略 $Z$ 坐标
• 将生成的矩形平移并缩放为 $[-1, 1]^2$

• 相机位置无限远，没有远近概念（忽略深度信息）

• 步骤：先做平移，再做缩放，目的是把投影全塞在 $[-1,1]^3$ 的长方体内

$$M_{ortho}=\begin{bmatrix} \dfrac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \dfrac{2}{t-b} & 0 &0 \\ 0 & 0 & \dfrac{2}{n-f} &0 \\ 0 & 0 & 0 &1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\dfrac{r+l}{2}\\ 0 & 1 & 0 &=\dfrac{t+b}{2} \\ 0 & 0 & 1 &-\dfrac{n+f}{2} \\ 0 & 0 & 0 &1\end{bmatrix}$$

• 沿着 $-Z$ 使远近不直观（$n > f$）
• 仅供参考：这就是 OpenGL 使用左手坐标的原因。

# 透视投影

• 最常见于计算机图形学、艺术、视觉系统
• 近大远小
• 平行线不平行； 收敛到单点

# 推导过程

正交投影矩阵的视锥体是一个四棱锥的一部分，其中近平面为 $z=n$，远平面为$z=f$，我们要把这个视锥体转换到一个正方体$[-1,1][-1,1][-1,1]$ 中，可以先把远平面压缩，把视锥体压缩成一个长方体，然后再通过第二步中的正交投影矩阵就可以变换到正方体中，如图。

在把视锥体压缩成长方体的过程中，我们规定三个原则

1. 近平面的所有点坐标不变

2. 远平面的所有点坐标 $z$ 值不变 都是 $f$

3. 远平面的中心点坐标值不变 为 $(0,0,f)$

然后我们假设视锥体内的任意一点 $(x,y,z)$，压缩以后的 $xy$ 坐标应该与近平面上对应的点相同，如图解相似三角形可以得到 $y\rightarrow ny/z,x\rightarrow nx/z$

故对于$(x,y,z,1)$ 一点，它在视锥体压缩以后坐标应该为$(nx/z,ny/z,unknow,1)$。

$z$ 值我们还不知道，这里先不讨论。

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix}\Rightarrow\begin{pmatrix} nx/z \\ ny/z \\ \text{unknown} \\ 1 \end{pmatrix}$$

也就是我们现在需要找到一个矩阵 $\text{Mpersp}\rightarrow\text{ortho}$，使得上面的转换成立。

假设矩阵的第一行为 $A,B,C,D$。可以得到等式 $Ax+By+Cz+D = nx/z$。

然后我们发现这个等式好像很难求，如果让 $A = n/z$，其他等于$0$，的确可以得到结果。

但是矩阵的值应该是常数，$n/z$ 是个变量。

而其他的结果也很难写出来，同时矩阵的第二行也会有同样的问题 $Ex+Fy+Gz+H = ny/z$，也很难求。

所以我们换一种方法，前面根据已学知识可以知道$(x,y,z,1)$ 与$(kx,ky,kz,k\not=0)$ 这两个点是完全等价的点，

所以我们让$k$ 取$z$ 可以把坐标$(nx/z,ny/z,unknow,1)$ 变为$(nx,ny,\text{still unknow},z)$。

$$M_{presp\rightarrow ortho}^{(4\times 4)}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} nx \\ ny \\ \text{unknown} \\ z \end{pmatrix}$$

也就是我们需要找到矩阵 $\text{Mpersp}\rightarrow\text{ortho}$，使得上面的转换成立。

现在就变简单了，$Ax+By+Cz+D = nx$，求出 $A=n,B=C=D=0$

$Ex+Fy+Gz+H = ny$，求出 $F=n,E=G=H=0$

$Mx+Ny+Oz+P = z$，求出 $O=1,M=N=P=0$。

$$M_{presp\rightarrow ortho}\begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ ? & ? & ? & ? \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

于是，我们求出了矩阵的其中三行，只剩下第三行是未知的。

然后我们想下之前的三个原则，其中一个，近平面的所有点坐标不变。

也就是点 $(x,y,n,1)$ 通过矩阵 $\text{Mpersp}\rightarrow\text{ortho}$ 变换后，应该还是等于 $(x,y,n,1)$。

$$\begin{pmatrix} n & 0 & 0 &0 \\ 0 & n & 0 & 0\\ ? &? &? &? \\ 0 &0 & 1 &0 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x\\y\\n\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\y\\n\\1 \end{pmatrix}$$

对于第一二四行，我们写出等式

$$nx+0y+0n+0*1=x\\ 0x+ny+0n+0*1=y\\ 0x+0y+1n+0*1=1\\$$

很明显这是有问题的，因为 $n$ 应该是任意常数，但是现在只有在 $n$ 等于 $1$ 时，一二四行的运算才成立

所以我们根据前面的方法，再把 $(x,y,n,1)$ 都乘以一个 $n$ 等价变为 $(nx,ny,n*n,n)$。

这样转换就变成了

$$\begin{pmatrix} n & 0 & 0 &0 \\ 0 & n & 0 & 0\\ ? &? &? &? \\ 0 &0 & 1 &0 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x\\y\\n\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} nx\\ny\\n*n\\n \end{pmatrix}$$

对于第一二四行，我们写出等式

$$nx+0y+0n+0*1=nx\\ 0x+ny+0n+0*1=ny\\ 0x+0y+1n+0*1=n\\$$

完美成立。现在我们可以安心的求第三行了。

设第三行的四个数分别为 ABCD

可以获得等式 $Ax+By+Cn+D = n*n$。

明显 $A=0,B=0,Cn+D = n*n$ ①

我们接下来考虑第三个原则，远平面的中心点坐标值不变 为$(0,0,f)$

同样为了保证之前求的矩阵一二四行成立，我们需要把 $(0,0,f,1)$ 写成 $(0,0,f*f,f)$

$$\begin{pmatrix} n & 0 & 0 &0 \\ 0 & n & 0 & 0\\ ? &? &? &? \\ 0 &0 & 1 &0 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0\\0\\f\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\f*f\\f \end{pmatrix}$$

$Cf+D = f*f$ ②

联立 ① ②，解得：$C = n+f,D = -nf$

终于，我们求得了 $\text{Mpersp}\rightarrow\text{ortho}$ 矩阵为

$$\begin{pmatrix} n & 0 & 0 &0 \\ 0 & n & 0 & 0\\ 0 &0 &n+f &-nf \\ 0 &0 & 1 &0 \end{pmatrix}$$

也就是通过这个矩阵，我们可以把原来的透视投影的视锥体压缩为正交投影的视锥体（长方体）

最后我们再乘上一开始求出来正交投影矩阵 $\text{Morth}$ 就得到了透视投影矩阵：$\text{Mpersp} = \text{Mortho}*\text{Mpersp}\rightarrow\text{ortho}$

$$\begin{pmatrix} 2/(r-l) & 0 & 0 &0 \\ 0 & 2/(t-b) & 0 & 0\\ 0 &0 &2/(n-f) &0 \\ 0 &0 & 1 &1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &-(l+r)/2 \\ 0 & 1 & 0 & -(b+t)/2\\ 0 &0 &1 &-(f+n)/2 \\ 0 &0 & 0 &1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n & 0 & 0 &0 \\ 0 & n & 0 & 0\\ 0 &0 &n+f &0 \\ 0 &0 & 1 &0 \end{pmatrix}$$