2D 变换

线性变换

比例变换

比例矩阵

比例矩阵（非均匀）

反射矩阵

水平反射
x^\prime =-x\\
y^\prime =y

\begin{bmatrix} x^\prime \\y^\prime \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1&0 \\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\y \end{bmatrix}

剪切矩阵

在 y=1 时水平移位为 a

垂直移位始终为 0
\begin{bmatrix} x^\prime \\y^\prime \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&a \\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\y \end{bmatrix}

旋转矩阵

相同维度线性变化

x^\prime=ax+by\\
y^\prime=cx+dy\\
\begin{bmatrix} x^\prime \\y^\prime \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a&b \\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\y \end{bmatrix}\\
x^\prime=Mx

齐次坐标

添加第三个坐标，有点 (x,y,1)^T ，向量 (x,y,0)^T ，则有：

• 点-点=向量
• 向量 向量=向量
• 点+向量=点
• 点+点=两点的中点

在齐次坐标中，\begin{pmatrix}x \\y\\w\end{pmatrix} 都视作\begin{pmatrix}x/w \\y/w\\1\end{pmatrix}，其中 w\not=0

仿射变换

仿射变化=线性变换+平移
\begin{pmatrix}x^\prime \\y^\prime\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b \\c&d\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}t_x \\t_y\end{pmatrix}
使用齐次坐标
\begin{pmatrix}x^\prime \\y^\prime\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b&t_x \\c&d&t_y\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}
平移
\mathbf{S} (s_x,s_y)=\begin{pmatrix}s_x&0&0 \\0&s_y&0\\0&0&1\end{pmatrix}
旋转
\mathbf{R} (\alpha)=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha&0 \\\sin\alpha&\cos\alpha&0\\0&0&1\end{pmatrix}
变换
\mathbf{R} (\alpha)=\begin{pmatrix}1&0&t_x \\ 0&1&t_y\\0&0&1\end{pmatrix}

逆变换

M^{-1} 是矩阵 M 在几何意义上的变换的逆

变换合成

矩阵相乘不满足结合律，例如，先旋转再平移和先平移再旋转所得结果不一样

仿射变换序列\mathbf{A_1},\mathbf{A_2},\mathbf{A_3}……

• 通过矩阵乘法组成
• 对性能非常重要
• 预乘 n 个矩阵以获得表示组合变换的单个矩阵

A_n(…A_2(A_1(x)))=\mathbf{A_n}…\mathbf{A_2A_1}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}

分解复杂的变换

如何围绕给定点 c 旋转？

1. 将中心平移到原点
2. 旋转
3. 向后平移

3D变换

3D也使用齐次坐标：

• 3D 的点：(x,y,z,1)^T
• 3D 的向量：(x,y,z,0)^T

通常，(x,y,z,w) 是一个 3D 点 (x/w,y/w,z/w)

3D变换通常使用 4×4 矩阵进行仿射变换