向量

• 通常写作 $\vec{a}$ 或者加粗的 $a$
• 或者使用起点和终点的形式 $\overrightarrow{AB}=B-A$
• 有距离和长度
• 没有具体的起点位置

向量归一化

• 向量的大小（长度）写为 $\left \| \vec{a} \right \|$

• 单位向量

  • 大小为 1 的向量
  • 求向量的单位向量（归一化）：$\hat{a} =\frac{\vec{a} }{\left \| \vec{a} \right \|}$
  • 用于表示方向

向量加法

• 几何：平行四边形定律和三角形定律
• 代数：简单地添加坐标

笛卡尔坐标

X 和 Y 可以是任何（通常是正交单位）向量

$$A=\begin{pmatrix} x \\\\ y \end{pmatrix}\\\\ A^T=(x,y)\\\\ \left \|A\right \|=\sqrt{x^2+y^2}$$

向量乘法

点乘

点（标量）积

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=\left \|\vec{a}\right \|\left \|\vec{b}\right \|\cos\theta\\\\ \cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left \|\vec{a}\right \|\left \|\vec{b}\right \|}$$

对于单位向量，有

$$\cos\theta=\hat{a}\cdot\hat{b}$$

特性

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\\\\ \vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}\\\\ (k\vec{a})\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot(k\vec{b})=k(\vec{a}\cdot\vec{b})$$

笛卡尔坐标中的点积

逐个乘法，然后相加

• 2D $$\vec{a}\cdot\vec{b}=\begin{pmatrix} x_a \\ y_a\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x_b \\ y_b\end{pmatrix}=x_ax_b+y_ay_b$$
• 3D $$\vec{a}\cdot\vec{b}=\begin{pmatrix} x_a \\\\ y_a\\\\z_a\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x_b \\\\y_b\\\\z_b\end{pmatrix}=x_ax_b+y_ay_b+z_az_b$$

图形中的点积

• 查找两个向量之间的角度（例如光源和表面之间角度的余弦）
• 寻找一个向量在另一个向量上的投影

投影点积

• $\vec{b}_{\bot}$：$\vec{b}$ 到 $\vec{a}$ 上的投影

  • $\vec{b}_{\bot}$必须沿着 $\vec{a}$ （或者沿着$\hat{a}$）
    • $\vec{b}_{\bot}=k\hat{a}$
    • 它的大小为 $k$

• $k=\left \|\vec{b}_{\bot}\right \|=\left \|\vec{b}\right \|\cos\theta$

图形中的点积

• 测量两个方向的距离
• 分解向量
• 确定正面/背面

叉乘

叉（矢量）乘

• 叉积与两个初始向量正交
• 方向由右手定则确定
• 用于构建坐标系

叉积的性质

叉积的笛卡尔公式

$$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}y_az_b-y_bz_a\\\\z_ax_b-x_az_b\\\\x_ay_b-y_ax_b\end{pmatrix}$$

向量 $a$ 的对偶矩阵

$$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}0&-z_a&y_a\\\\z_a&0&-x_a\\\\-y_a&x_a&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_b\\\\y_b\\\\z_b\end{pmatrix}$$

图形学中的叉积

• 确定左/右方向
• 确定前/后方向

1. 判定 $b$ 在 $a$ 左侧还是右侧

   $z$ 轴是正数，所以叉乘大于 $0$ 的话在左侧。

   • $a\times b >0$，左侧

• $a\times b < 0$，右侧

z 轴朝向屏幕外是正方向，摄像机前向是 z 轴负方向

1. 判定 p 点是否在三角形内部（向外朝向屏幕外，就是不指向屏幕）

   • AB 叉乘 AP ，向外 — P 在 AB 左侧

   • BC 叉乘 BP，向外 — P 在 BC 左侧

   • CA 叉乘 CP，向外 — P 在 CA 左侧

   • 综合，P 在三角形内部

只有全是左侧或者右侧才能判定点在三角形内侧

正交基和坐标系

正交基/坐标系

• 对于表示点、坐标、位置很重要
• 通常，多组坐标系
  • 全局、局部、世界、模型、模型的一部分（头、手……）
• 关键问题是这些系统/基础之间的转换

正交坐标系

在任何一组 3 个向量（在 3D 中）

矩阵

什么是矩阵

• 数字数组（$m × n = m$ 行，$n$ 列）

$$\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 4 \\\\5 & 6\end{pmatrix}$$

• 标量的加法和乘法是微不足道的：逐个元素

矩阵-矩阵乘法

• A 中的#（数量）列必须 = B 中的 # 行 $(M\times N) (N \times P) = (M \times P)$

• 乘积中的元素 $(i, j)$ 是来自 $A$ 的 $i$ 行和来自 $B$ 的 $j$ 列的点积

• 性质

  • 无交换律（AB 和 BA 一般不一样）
  • 结合律和分配率
    • $(AB)C=A(BC)$
    • $A(B+C)=AB+AC$
    • $(A+B)C=AC+BC$

• 将向量视为列矩阵 (m×1)

• 转换的关键

• 关于 y 轴的 2D 反射

  $$\begin{pmatrix}-1 & 0\\\\0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x\\\\y \end{pmatrix}$$

矩阵变换

• 切换行和列（$ij \rightarrow ji$）

• 性质 $$(AB)^T=B^TA^T$$

单位矩阵和逆

矩阵形式的向量乘法

点乘

叉乘