2D 变换

线性变换

比例变换

$$x^\prime =sx\\\\ y^\prime =sy$$

比例矩阵

$$\begin{bmatrix} x^\prime \\\\y^\prime \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} s&0 \\\\0&s\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\\\y \end{bmatrix}$$

比例矩阵（非均匀）

$$\begin{bmatrix} x^\prime \\\\y^\prime \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} s_x&0 \\\\0&s_y\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\\\y \end{bmatrix}$$

反射矩阵

水平反射

$$x^\prime =-x\\\\ y^\prime =y$$ $$\begin{bmatrix} x^\prime \\\\y^\prime \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1&0 \\\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\\\y \end{bmatrix}$$

剪切矩阵

在 $y=0$ 时水平移位为 $0$

在 $y=1$ 时水平移位为 $a$

垂直移位始终为 $0$

$$\begin{bmatrix} x^\prime \\\\y^\prime \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&a \\\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\\\y \end{bmatrix}$$

旋转矩阵

$$R_\theta=\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\\\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$$

相同维度线性变化

$$x^\prime=ax+by\\\\ y^\prime=cx+dy\\\\ \begin{bmatrix} x^\prime \\\\y^\prime \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a&b \\\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\\\y \end{bmatrix}\\\\ x^\prime=Mx$$

齐次坐标

添加第三个坐标，有点 $(x,y,1)^T$ ，向量 $(x,y,0)^T$ ，则有：

• 点-点=向量
• 向量 向量=向量
• 点+向量=点
• 点+点=两点的中点

在齐次坐标中，$\begin{pmatrix}x \\\\y\\\\w\end{pmatrix}$ 都视作$\begin{pmatrix}x/w \\\\y/w\\\\1\end{pmatrix}$，其中 $w\not=0$

仿射变换

仿射变化=线性变换+平移

$$\begin{pmatrix}x^\prime \\\\y^\prime\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b \\\\c&d\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x \\\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}t_x \\\\t_y\end{pmatrix}$$

使用齐次坐标

$$\begin{pmatrix}x^\prime \\\\y^\prime\\\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b&t_x \\\\c&d&t_y\\\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\\\y\\\\1\end{pmatrix}$$

平移

$$\mathbf{S} (s_x,s_y)=\begin{pmatrix}s_x&0&0 \\\\0&s_y&0\\\\0&0&1\end{pmatrix}$$

旋转

$$\mathbf{R} (\alpha)=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha&0 \\\\\sin\alpha&\cos\alpha&0\\\\0&0&1\end{pmatrix}$$

变换

$$\mathbf{R} (\alpha)=\begin{pmatrix}1&0&t_x \\\\ 0&1&t_y\\\\0&0&1\end{pmatrix}$$

逆变换

$M^{-1}$ 是矩阵 $M$ 在几何意义上的变换的逆

变换合成

矩阵相乘不满足结合律，例如，先旋转再平移和先平移再旋转所得结果不一样

仿射变换序列$\mathbf{A_1},\mathbf{A_2},\mathbf{A_3}……$

• 通过矩阵乘法组成
• 对性能非常重要
• 预乘 $n$ 个矩阵以获得表示组合变换的单个矩阵

$$A_n(...A_2(A_1(x)))=\mathbf{A_n}...\mathbf{A_2A_1}\cdot\begin{pmatrix}x\\\\y\\\\1\end{pmatrix}$$

分解复杂的变换

如何围绕给定点 c 旋转？

1. 将中心平移到原点
2. 旋转
3. 向后平移

$$\mathbf{T(c)\cdot R(\alpha)\cdot T(-c)}$$

3D变换

3D也使用齐次坐标：

• 3D 的点：$(x,y,z,1)^T$
• 3D 的向量：$(x,y,z,0)^T$

通常，$(x,y,z,w)$ 是一个 3D 点 $(x/w,y/w,z/w)$

3D变换通常使用 4×4 矩阵进行仿射变换