向量

• 通常写作 \vec{a} 或者加粗的 a
• 或者使用起点和终点的形式 \overrightarrow{AB}=B-A
• 有距离和长度
• 没有具体的起点位置

向量归一化

• 向量的大小（长度）写为 \left | \vec{a} \right |

• 单位向量

  • 大小为 1 的向量
  • 求向量的单位向量（归一化）：\hat{a} =\frac{\vec{a} }{\left | \vec{a} \right |}
  • 用于表示方向

向量加法

• 几何：平行四边形定律和三角形定律
• 代数：简单地添加坐标

笛卡尔坐标

X 和 Y 可以是任何（通常是正交单位）向量
A=\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}\\
A^T=(x,y)\\
\left |A\right |=\sqrt{x^2+y^2}

向量乘法

点乘

点（标量）积

\vec{a}\cdot\vec{b}=\left |\vec{a}\right |\left |\vec{b}\right |\cos\theta\\
\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left |\vec{a}\right |\left |\vec{b}\right |}
对于单位向量，有
\cos\theta=\hat{a}\cdot\hat{b}
特性
\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\\
\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}\\
(k\vec{a})\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot(k\vec{b})=k(\vec{a}\cdot\vec{b})

笛卡尔坐标中的点积

逐个乘法，然后相加

• 2D
  \vec{a}\cdot\vec{b}=\begin{pmatrix} x_a\\y_a\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x_b\\y_b\end{pmatrix}=x_ax_b+y_ay_b

• 3D
  \vec{a}\cdot\vec{b}=\begin{pmatrix} x_a \\ y_a\\z_a\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x_b \\y_b\\z_b\end{pmatrix}=x_ax_b+y_ay_b+z_az_b

图形中的点积

• 查找两个向量之间的角度（例如光源和表面之间角度的余弦）
• 寻找一个向量在另一个向量上的投影

投影点积

• $\vec{b}_{\bot} $：$\vec{b}$ 到 $\vec{a}$ 上的投影
  • $\vec{b}_{\bot} $必须沿着 $\vec{a}$ （或者沿着$\hat{a}$）
    • $\vec{b}_{\bot}=k\hat{a}$
    • 它的大小为 k
• $k=\left |\vec{b}_{\bot}\right |=\left |\vec{b}\right |\cos\theta$

图形中的点积

• 测量两个方向的距离
• 分解向量
• 确定正面/背面

叉乘

叉（矢量）乘

• 叉积与两个初始向量正交
• 方向由右手定则确定
• 用于构建坐标系

叉积的性质

叉积的笛卡尔公式

\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}y_az_b-y_bz_a\\z_ax_b-x_az_b\\x_ay_b-y_ax_b\end{pmatrix}

向量 a 的对偶矩阵
\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}0&-z_a&y_a\\z_a&0&-x_a\\-y_a&x_a&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_b\\y_b\\z_b\end{pmatrix}

图形学中的叉积

• 确定左/右方向
• 确定前/后方向

1. 判定 b 在 a 左侧还是右侧

   z 轴是正数，所以叉乘大于 0 的话在左侧。

   • $a\times b >0$，左侧

– a\times b<0，右侧

z 轴朝向屏幕外是正方向，摄像机前向是 z 轴负方向

1. 判定p点是否在三角形内部（向外朝向屏幕外，就是不指向屏幕）
   • AB 叉乘 AP ，向外 — P在AB左侧

   • BC 叉乘 BP，向外 — P在BC左侧

   • CA 叉乘 CP，向外 — P在CA左侧

   • 综合，P在三角形内部

只有全是左侧或者右侧才能判定点在三角形内侧

正交基和坐标系

正交基/坐标系

• 对于表示点、坐标、位置很重要
• 通常，多组坐标系
  • 全局、局部、世界、模型、模型的一部分（头、手……）
• 关键问题是这些系统/基础之间的转换

正交坐标系

在任何一组 3 个向量（在 3D 中）

矩阵

什么是矩阵

• 数字数组（m × n = m 行，n 列）

\begin{pmatrix}1&2 \\ 3&4 \\5&6\end{pmatrix}

• 标量的加法和乘法是微不足道的：逐个元素

矩阵-矩阵乘法

• A 中的#（数量）列必须 = B 中的 # 行 (M\times N) (N \times P) = (M \times P)
  
  

• 乘积中的元素 (i, j) 是来自 A 的 i 行和来自 B 的 j 列的点积

• 性质

  • 无交换律（AB和BA一般不一样）
  • 结合律和分配率
    • $(AB)C=A(BC)$
    • $A(B+C)=AB+AC$
    • $(A+B)C=AC+BC$
• 将向量视为列矩阵 (m×1)

• 转换的关键

• 关于 y 轴的 2D 反射
  \begin{pmatrix}-1&0\\0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x\\y \end{pmatrix}

矩阵变换

• 切换行和列（ij \rightarrow ji）

• 性质
  (AB)^T=B^TA^T

单位矩阵和逆

矩阵形式的向量乘法

点乘

叉乘